Ottimizzazione
Ottimizzazione
Procedimento attraverso il quale si cerca di razionalizzare i processi decisionali, ossia di trovare la migliore tra tutte le soluzioni possibili (valore ottimo), tenuto conto dei criteri di scelta che si sono stabiliti e dei vincoli che sono stati imposti.
Dal punto di vista matematico, si tratta di determinare le variabili che massimizzano (o rendono minima, dipende dai casi) il valore di una funzione (v.) definita obiettivo.
I modelli di ottimizzazione trovano largo impiego in economia: a livello microeconomico, ad esempio, il problema può riguardare la minimizzazione dei costi di produzione dati certi vincoli, l'individuazione delle combinazioni ottime dei fattori della produzione (v.) o, ancora, la quantità di output che in considerazione della capacità produttiva di un impianto rende massimo il profitto.
Sul piano macroeconomico, invece, l'ottimizzazione può concernere le decisioni di politica economica o monetaria adottabili dalle autorità centrali.
Esempio di ottimizzazione
Un'impresa massimizza il suo profitto quando la sua funzione del profitto totale è:
f(x, y) = x2 – 2xy + 2y2
La massima capacità produttiva dell'impresa (il vincolo) è data dalla funzione x + 0,1y = 50.
Per calcolare i valori critici di x e y che ottimizzano la funzione data si segue un procedimento relativamente semplice: si eguaglia il vincolo a zero e lo si moltiplica per il moltiplicatore di Lagrange:
l (x + 0,1y – 50) = 0
Si somma il risultato alla funzione obiettivo, ottenendo una funzione lagrangiana (v.):
F(x, y, l) = x2 – 2xy + 2y2 + l (x + 0,1y – 50)
e si uguagliano a 0 le derivate (v.) prime:
@
L'operazione di calcolare le derivate parziali di primo ordine ed eguagliarle a O trova la sua giustificazione teorica nel teorema di Lagrange secondo cui una scelta ottima (x*, y*) deve soddisfare le tre condizioni del primo ordine:
@
Dopo una serie di passaggi, che qui non è il caso di riportare si ottengono i seguenti valori critici:
x* = 47,51 ; y* = 24,88 ; l* = 45,24
I valori di x e y sono quelli per i quali il profitto totale dell'impresa risulta massimo dato il vincolo della capacità produttiva.
Per quanto riguarda il moltiplicatore di Lagrange l, esso ha un ben preciso significato economico: il valore di l, infatti, ci dice di quanto aumenterebbe la funzione obiettivo se la costante della funzione vincolo aumentasse di una unità. In altre parole, esso è un indicatore di scarsità relativa. Se l > 0, per ogni unità di incremento del vincolo, l ci dice di quanto aumenterà, approssimativamente, la funzione obiettivo.
Poiché l è una quantità negativa, aumentando di una unità la capacità produttiva si determinerà un aumento dei profitti pari a circa 45,24.
Procedimento attraverso il quale si cerca di razionalizzare i processi decisionali, ossia di trovare la migliore tra tutte le soluzioni possibili (valore ottimo), tenuto conto dei criteri di scelta che si sono stabiliti e dei vincoli che sono stati imposti.
Dal punto di vista matematico, si tratta di determinare le variabili che massimizzano (o rendono minima, dipende dai casi) il valore di una funzione (v.) definita obiettivo.
I modelli di ottimizzazione trovano largo impiego in economia: a livello microeconomico, ad esempio, il problema può riguardare la minimizzazione dei costi di produzione dati certi vincoli, l'individuazione delle combinazioni ottime dei fattori della produzione (v.) o, ancora, la quantità di output che in considerazione della capacità produttiva di un impianto rende massimo il profitto.
Sul piano macroeconomico, invece, l'ottimizzazione può concernere le decisioni di politica economica o monetaria adottabili dalle autorità centrali.
Esempio di ottimizzazione
Un'impresa massimizza il suo profitto quando la sua funzione del profitto totale è:
f(x, y) = x2 – 2xy + 2y2
La massima capacità produttiva dell'impresa (il vincolo) è data dalla funzione x + 0,1y = 50.
Per calcolare i valori critici di x e y che ottimizzano la funzione data si segue un procedimento relativamente semplice: si eguaglia il vincolo a zero e lo si moltiplica per il moltiplicatore di Lagrange:
l (x + 0,1y – 50) = 0
Si somma il risultato alla funzione obiettivo, ottenendo una funzione lagrangiana (v.):
F(x, y, l) = x2 – 2xy + 2y2 + l (x + 0,1y – 50)
e si uguagliano a 0 le derivate (v.) prime:
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L'operazione di calcolare le derivate parziali di primo ordine ed eguagliarle a O trova la sua giustificazione teorica nel teorema di Lagrange secondo cui una scelta ottima (x*, y*) deve soddisfare le tre condizioni del primo ordine:
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Dopo una serie di passaggi, che qui non è il caso di riportare si ottengono i seguenti valori critici:
x* = 47,51 ; y* = 24,88 ; l* = 45,24
I valori di x e y sono quelli per i quali il profitto totale dell'impresa risulta massimo dato il vincolo della capacità produttiva.
Per quanto riguarda il moltiplicatore di Lagrange l, esso ha un ben preciso significato economico: il valore di l, infatti, ci dice di quanto aumenterebbe la funzione obiettivo se la costante della funzione vincolo aumentasse di una unità. In altre parole, esso è un indicatore di scarsità relativa. Se l > 0, per ogni unità di incremento del vincolo, l ci dice di quanto aumenterà, approssimativamente, la funzione obiettivo.
Poiché l è una quantità negativa, aumentando di una unità la capacità produttiva si determinerà un aumento dei profitti pari a circa 45,24.
