Limite

Si dice che una funzione (v.) y = f(x) definita in un certo intervallo (a, b), ha per limite l, per x che tende ad x0, quando, scelto ad arbitrio un numero e (positivo, piccolo a piacere) è possibile, in corrispondenza, scegliere un altro numero d tale che, per tutti i valori x diversi da x0, e compresi nell'intervallo:

(x0 - d, x0 + d) cioè (x0 - d < x0 + d)

si abbia:

1 - e < f(x) < 1 + e

Si può anche scrivere:
per ogni |x– x0| < d

si abbia |f(x) - l| < e
Si scrive:

@

oppure: f(x) ® l per x ® x0
Si legge:
Il limite, per x che tende ad x0, di f(x) è uguale ad l.
Il limite consente di conoscere il comportamento della funzione nell'intorno del punto x0, cioè i valori che la funzione y assume quando il punto generico x si avvicina al punto x0.
Dalla definizione data di limite finito per un punto al finito, con ovvie modifiche si ricavano le definizioni di limite finito per un punto all'infinito (x ® ± ¥), limite infinito (l = ± ¥) per un punto al finito, limite infinito per un punto all'infinito.
Naturale è l'estensione della nozione di limite per le funzioni di più variabili reali.

Se @ e @ esistono finiti risulta:

@

Inoltre se lim g(x) esiste finito ed è diverso da zero si ha:

@