Integrale
Integrale
Detta f(x) una funzione (v.) continua, definita in un intervallo [a, b], dividiamo tale intervallo in n intervalli più piccoli fissando n + 1 punti x0, x1, … xn di esso, con a = x0 < x1 < … < xn—1 < xn=b; indichiamo con d la maggiore delle ampiezze di detti intervalli, in ciascuno dei quali fissiamo un punto , con i = 0, 1, …, n–1.
Considerata la somma:
@
si dice integrale definito della funzione f(x) esteso all'intervallo [a, b], il limite (v.) della somma introdotta per d tendente a 0, cioè
@
e si indica con uno dei seguenti simboli:
@
La funzione f(x) è detta funzione integranda, o più facilmente integrando, i punti a e b, si dicono estremi o limiti di integrazione: a è l'estremo inferiore, b è l'estremo superiore.
Alcune proprietà dell'integrale definito sono qui riportate:
@
c essendo un punto interno all'intervallo di estremi a e b.
Importante è l'interpretazione geometrica dell'integrale definito. Sia f(x) una funzione continua definita in un intervallo [a, b], ed ivi non negativa (cioè con valori ³ 0), l'insieme dei punti (x, y) del piano con a £ x £ b e 0 £ y £ f(x) si chiama rettangoloide o trapezoide di base (a, b) della funzione f(x). Se f(x) è non positiva il rettangoloide ad essa corrispondente è l'insieme dei punti (x, y) tali che a £ x £ b e f(x) £ y £ 0. L'integrale definito di f(x) esteso all'intervallo [a, b] è il valore dell'area del rettangoloide di base [a, b] della funzione preso col suo segno opposto a seconda che f(x) è non negativa o non positiva in [a, b].
Nel caso di funzione con valori sia positivi che negativi è pari all'area del rettangoloide relativo alla parte non negativa di f(x) diminuita di quella relativa alla parte non positiva. In figura è la differenza tra l'area a tratteggio verticale e quella a tratteggio orizzontale.
La definizione di integrale definito si può estendere alle funzioni di più variabili, in tal caso si parla di integrale doppio per la funzione di due variabili; di integrale triplo per quelle di tre variabili ecc., il cui calcolo, mediante opportune formule di riduzione, si riporta a quello di integrale di funzioni di una variabile.
Introduciamo ora la nozione di integrale indefinito.
Data una funzione f(x) definita in un intervallo [a, b], se esiste un'altra funzione F(x) che, derivata, riproduca la funzione data, cioè se risulta:
F¢(x) = f(x)
diremo che F(x) è primitiva rispetto ad f(x).
Qualora esista un'altra funzione G(x) per cui
G¢(x) = f(x)
diremo che G(x) è primitiva rispetto ad f(x).
Le due funzioni F(x) e G(x) possono differire tra loro solo per una costante. Infatti:
F(x) – G(x) = c
Data una funzione f(x), la totalità delle funzioni primitive di tale funzione si chiama integrale indefinito della funzione f(x) e si scrive:
@
e si legge integrale indefinito di f(x). In tale espressione c'è una costante arbitraria detta costante di integrazione.
La nozione di funzione primitiva interviene anche nel calcolo dell'integrale definito di una funzione continua; vale, infatti, la seguente formula:
@
dove F(x) è una qualunque primitiva di f(x).
Alcuni integrali definiti o immediati sono riportati nella seguente tabella.
Detta f(x) una funzione (v.) continua, definita in un intervallo [a, b], dividiamo tale intervallo in n intervalli più piccoli fissando n + 1 punti x0, x1, … xn di esso, con a = x0 < x1 < … < xn—1 < xn=b; indichiamo con d la maggiore delle ampiezze di detti intervalli, in ciascuno dei quali fissiamo un punto , con i = 0, 1, …, n–1.
Considerata la somma:
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si dice integrale definito della funzione f(x) esteso all'intervallo [a, b], il limite (v.) della somma introdotta per d tendente a 0, cioè
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e si indica con uno dei seguenti simboli:
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La funzione f(x) è detta funzione integranda, o più facilmente integrando, i punti a e b, si dicono estremi o limiti di integrazione: a è l'estremo inferiore, b è l'estremo superiore.
Alcune proprietà dell'integrale definito sono qui riportate:
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c essendo un punto interno all'intervallo di estremi a e b.
Importante è l'interpretazione geometrica dell'integrale definito. Sia f(x) una funzione continua definita in un intervallo [a, b], ed ivi non negativa (cioè con valori ³ 0), l'insieme dei punti (x, y) del piano con a £ x £ b e 0 £ y £ f(x) si chiama rettangoloide o trapezoide di base (a, b) della funzione f(x). Se f(x) è non positiva il rettangoloide ad essa corrispondente è l'insieme dei punti (x, y) tali che a £ x £ b e f(x) £ y £ 0. L'integrale definito di f(x) esteso all'intervallo [a, b] è il valore dell'area del rettangoloide di base [a, b] della funzione preso col suo segno opposto a seconda che f(x) è non negativa o non positiva in [a, b].
Nel caso di funzione con valori sia positivi che negativi è pari all'area del rettangoloide relativo alla parte non negativa di f(x) diminuita di quella relativa alla parte non positiva. In figura è la differenza tra l'area a tratteggio verticale e quella a tratteggio orizzontale.
La definizione di integrale definito si può estendere alle funzioni di più variabili, in tal caso si parla di integrale doppio per la funzione di due variabili; di integrale triplo per quelle di tre variabili ecc., il cui calcolo, mediante opportune formule di riduzione, si riporta a quello di integrale di funzioni di una variabile.
Introduciamo ora la nozione di integrale indefinito.
Data una funzione f(x) definita in un intervallo [a, b], se esiste un'altra funzione F(x) che, derivata, riproduca la funzione data, cioè se risulta:
F¢(x) = f(x)
diremo che F(x) è primitiva rispetto ad f(x).
Qualora esista un'altra funzione G(x) per cui
G¢(x) = f(x)
diremo che G(x) è primitiva rispetto ad f(x).
Le due funzioni F(x) e G(x) possono differire tra loro solo per una costante. Infatti:
F(x) – G(x) = c
Data una funzione f(x), la totalità delle funzioni primitive di tale funzione si chiama integrale indefinito della funzione f(x) e si scrive:
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e si legge integrale indefinito di f(x). In tale espressione c'è una costante arbitraria detta costante di integrazione.
La nozione di funzione primitiva interviene anche nel calcolo dell'integrale definito di una funzione continua; vale, infatti, la seguente formula:
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dove F(x) è una qualunque primitiva di f(x).
Alcuni integrali definiti o immediati sono riportati nella seguente tabella.
